Question

已知函数f(x)=ax^2+1/x(x不等于0,a属于R,若函数在区间〔1，无穷大）上为增函数，求a的取值范围

我是高一的，求导什么的还没学，能用别的方法解决这题吗？

Answer 1

解
用"差法"
可设1＜x＜y.由题设可得:
恒有:ax²+(1/x)＜ay²+(1/y)
移项,整理.:(y-x)/(xy)＜a(y-x)(y+x).
结合x＜y,可得
1/(xy)＜a(x+y)
∴应该恒有:a＞1/[xy(x+y)].
现在求1＜x＜y时,式子1/[xy(x+y)]的上确界.
显然,当1＜x＜y.且x,y----->1时,该式子越来越大.
趋于1/2.
∴必须有a≥1/2.

Answer 2

在区间〔1，无穷大）取x1、x2,x1<x2
函数f(x)=ax^2+1/x(x不等于0,a属于R,若函数在区间〔1，无穷大）上为增函数
f(x2)-f(x1)=ax2^2+1/x2-ax1^2-1/x1=a(x1+x2)(x2-x1)+(x1-x2)/(x1x2)>0
X2-X1>0,a>1/((x1+x2)x1x2)
x1, x2在区间〔1，无穷大）,所以a>=1/2

追问

能算出(x1+x2)x1x2的范围是(2,+无穷)，那么1/((x1+x2)x1x2)
的范围就是（0,1/2）,为什么a就大于等于1/2

追答

a>1/((x1+x2)x1x2)要恒成立，即a要大于1/((x1+x2)x1x2)的最大值
所以a>=1/2