Question

高一数学数列题

已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，等比数列{bn}的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的整数，n∈N*.
（1）若a1＜b1,b3＜a2+a3,求a，b的值；
（2）若a=2,数列{bn}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn,记cn=Tn-λSn（λ是实常数）.
①若数列{cn}是等差数列，求λ的值；
②若C（n+1）＞Cn对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围

Answer 1

(1)由题可知，a1=a,b1=b,而b3=a*a*b,a2=a+b,a3=a+2b
1、a1<b1=》a<b,
2、b3<a2+a3=》a*a*b<2a+3b，利用1式，可以得出a*a*b<5b=》a*a<5,a<√5,由题可知，a>1,
a=2,将a=2带入2式，得出4b<4+3b=》b<4,由1式得b>a,所以b=3
因此a=2,b=3
(2)a=2,bn=b^n-1,Sn=b*(1-2^n)/(1-2) =b*(2^n-1),cn=Tn-λSn,
①数列{cn}是等差数列,可以得出c2-c1=c4-c3,=》(4b-λ*3b)-(b-λb)=(26b-λ*15b)-(11b-λ*7b)
得出λ=2
②C（n+1）＞Cn对一切n∈N*恒成立，即Tn+1-λSn+1>Tn-λSn=》Tn+1-Tn>λ(Sn+1-Sn)=》
Sn+1>λ(Sn+1-Sn)=》b*(2^n+1 -1)>λbn+1=>b*(2^n+1 -1)>b*λ*2^n,b>1=》2^n+1 -1>λ*2^n=》
2*2^n -1>λ*2^n =》（2-λ）2^n>1,由于n∈N*，所以2^n>0,当n=1时，2^n=2最小，
所以（2-λ）>1/2,得出λ<3/2

楼主啊，这题不难，可是要在这上面打出来太费事了，做题10分钟，打了接近20分钟啊！补充下，由于没法区分上下标，所以要注意区分幂次方和多项式n+1的下标。

我楼下的②问事错的，λ<3/2 而不是λ<2

Answer 2

（1）由题可知：
an=a+(n-1)*b,bn=b*a^(n-1)
所以
a2=a+b,a3=a+2b,b3=b*a^2
由b3＜a2+a3，得 b*a^2<2a+3b
因为a1＜b1 ，所以a<b
所以b*a^2<2a+3b<2b+3b=5b
即 a^2<5
因为 a，b都是大于1的整数
所以a=2
所以4b<4+3b
得b<4
因为b>a=2, 因此b=3

（2）由题可知：Sn=b*[(1-2^n)/(1-2)]=b*(2^n-1)
Tn=S1+S2+...+Sn=b*(2-1)+b*(2^2-1)+....+b*(2^n-1)
=b*[(2+2^2+.....+2^n)-n]
=2b*(2^n-1)-nb
所以Cn=Tn-λSn=2b*(2^n-1)-nb-λb*(2^n-1)
=(2-λ)b*2^n+(λ-n-2)b
C（n+1） =（4-2λ)b*2^n +（λ-n-1)b
①若数列{cn}是等差数列，则C（n+1）-Cn为常数
即C（n+1）-Cn = （2-λ）b*2^n + b 为常数
所以λ=2

②若C（n+1）＞Cn对一切n∈N*恒成立
则C（n+1）-Cn = （2-λ）b*2^n + b ＞0 恒成立
有（2-λ）* 2^n +1＞0 恒成立
有 λ <1/（2^n）+ 2
因为当n无穷大时， 1/（2^n）+ 2 的最小值为2
所以λ<2

Answer 3

解：（1）由题意可得，1＜a＜b，
∵b3＜a2+a3∴ba2＜a+b+a+2b=2a+3b＜5b
即a2＜5，a＞1且a为整数
∴a=2，4b＜2a+3b即b＜2a=4，b为整数，故b=3
即a=2，b=3
（2）若a=2，则由题意可得，Sn=b(1-2n) 1-2 =b(2n-1)，
Tn=b（21-1+22-1+…+2n-1）
=b• [2(1-2n) 1-2 -n]=b(2n+1-2)
Cn=Tn-λSn=b•（2n+1-2）-λb•（2n-1）=b[（2-λ）2n+λ-2]
Cn+1-Cn=b[（2-λ）2n+1+λ-2]-b[（2-λ）2n+λ-2]=b•（2-λ）•2n；
①若数列为等差数列，则b•（2-λ）•2n为常数，而由于2n为变量，故b（2-λ）=0，λ=2
②若Cn+1＞Cn，则b（2-λ）2n＞0，从而可得，2-λ＞0即λ＜2