Question

若a,b,c均为大于0的实数，求证√(a^2+b^2)+√(b^2+c^2)+√(c^2+a^2)>=√2*(a+b+c)

√(a^2+b^2)+√(b^2+c^2)+√(c^2+a^2)为根号整个括号>=为大于等于

Answer 1

[[[[1]]]]
当x,y非负时,易知
x²+y²≥2xy
2(x²+y²)≥(x+y)²
√[2(x²+y²)]≥x+y
[[[[2]]]]]
证明:
由题设及上面结论,可得
√[2(a²+b²)]≥a+b
√[2(b²+c²)]≥b+c
√[2(c²+a²)]≥c+a
上面三个式子相加,整理可得
√(a²+b²)+√(b²+c²)+√(c²+a²)≥(√2)(a+b+c)