Question

数列{an}满足x1=0,xn+1=-xn^2+xn+c(N>=1)(1)证明数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c< 0(2)求c的...

数列{an}满足x1=0,xn+1=-xn^2+xn+c(N>=1)(1)证明数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c< 0(2)求c的取值范围,使数列{an}是单调递增数列

Answer 1

(1)当c＜0时，xn+1=-x2n+xn+c＜xn，
∴{xn}是单调递减数列的充分条件
当{xn}是单调递减数列时
x1=0＞x2=-x21+x1+c
∴c＜0
综上{xn}是从递减数列的充分必要条件是c＜0；
(2) 由（1）得，c≥0
①当c=0时，xn=x1=0，此时数列为常数列，不符合题意；
②当c＞0时，x2=c＞x1=0，x3=-c2+2c＞x2=c
∴0＜c＜1
xn+1-xn=c-xn^2＞0⇔xn^2＜c＜1
⇔0=x1≤xn＜根c ，xn+2-xn+1=-(xn+1^2-xn^2)+(xn+1-xn)=-（xn+1-xn)(xn+1+xn-1），
当c≤1/4时，xn＜根c≤1/2⇒xn-xn+1+1＞0⇔(xn+2)-(xn+1)-1＜0，⇔(xn+2)-(xn+1)与(xn+1)-xn同号，
由x2-x1=c＞0⇒xn+1-xn＞0⇔xn+1＞xn．
lim(n→∞)xn+1=lim(n→∞)(-xn^2+xn+c)⇔lim(n→∞)xn=根c
当c＞1/4时，存在N使xN＞1/2
⇒xN+xN+1＞1⇒xN+2-xN+1与xN+1-xN异号，与数列{xn}是从递减数列矛盾．
所以当0＜c≤1/4时，数列{xn}是递增数列．

Answer 2

(1)先证明{xn}是单调递减数列时，c<0:
由递减数列得出：x2-x1<0，即x2-x1=-x1^2+x1+c<0，由于x1=0，则有c<0得证；
再证明c<0时，{xn}是单调递减数列：
xn+1-xn=-xn^2+xn+c-xn=-xn^2+c<0(由于-xn^2<=0，且c<0)，则{xn}是单调递减数列得证。
（2）由xn+1=-xn^2+xn+c(N>=1)得出xn+2=-（xn+1）^2+xn+1+c(N>=1)
两式相减，整理后为：（xn+2-xn+1）=-(xn+1-xn)(xn+1+xn-1)
若{xn}是单调递增数列，则有xn+2-xn+1>0，xn+1-xn>0，结合上式有xn+1+xn-1<0
即xn+1+xn<1，结合考虑递增数列xn+1>xn>x1=0则有xn+1<0.5，即{xn}中所有项均不小于0且小于0.5。.
xn+1=-xn^2+xn+c得出xn+1-xn=-xn^2+c,
由于0=<xn<0.5，则有-xn^2<-0.25
若c>0.25，则有xn+1-xn=-xn^2+c>0，则有{xn}是单调递增数列。

Answer 3

(1)先证明{xn}是单调递减数列时，c<0:
由递减数列得出：x2-x1<0，即x2-x1=-x1^2+x1+c<0，由于x1=0，则有c<0得证；
再证明c<0时，{xn}是单调递减数列：
xn+1-xn=-xn^2+xn+c-xn=-xn^2+c<0(由于-xn^2<=0，且c<0)，则{xn}是单调递减数列得证。
（2）由xn+1=-xn^2+xn+c(N>=1)得出xn+2=-（xn+1）^2+xn+1+c(N>=1)
两式相减，整理后为：（xn+2-xn+1）=-(xn+1-xn)(xn+1+xn-1)
若{xn}是单调递增数列，则有xn+2-xn+1>0，xn+1-xn>0，结合上式有xn+1+xn-1<0
即xn+1+xn<1，结合考虑递增数列xn+1>xn>x1=0则有xn+1<0.5，即{xn}中所有项均不小于0且小于0.5。.
xn+1=-xn^2+xn+c得出xn+1-xn=-xn^2+c,
由于0=<xn<0.5，则有-xn^2<-0.25
若c>0.25，则有xn+1-xn=-xn^2+c>0，则有{xn}是单调递增数列。

Answer 4