Question

如图,在直角梯形ABCD中,AD平行BC,BC垂直CD,∠B=60 BC=2AD,E,F分别是AB,BC的中点,求证：FE⊥DE。

Answer 1

证明：

如图所示

根据题目可知AF垂直于BC，BF=FC=AD，

因为 ∠ABC=60°，∠BFA=90°

所以∠BAF=30°

因为E是AB中点，所以AE=EB

又因为∠BAF=30°（30°角所对直角边等于斜边的一半）

所以EF=EB=EA

因为EF=EB

所以三角形BEF为等腰三角形

所以∠EBF=∠EFB=60°，∠BEF=60°

所以三角形BEF又为等边三角形

所以EF=EB=EA=BF=FC=AD

因为∠EFB=60°且∠BFA为90°

所以∠EFA=30°

因为∠EFA=30°，∠FAB=30°

所以∠AEF=120°

因为AE=AD

所以三角形AED为等腰三角形

且∠EAD=120°

所以∠AED=∠ADE=30°

因为∠AEF=120°，∠AED=30°

所以∠DEF=90°

所以可以证明FE⊥DE

Answer 2

连接AF
∵F是BC的中点,即BF=FC=1/2BC
AD=1/2BC
∴AD=BF=FC
∵ABCD是直角梯形
∴AFCD是矩形
∴∠AFB=∠AFC=90°
∴△AFB是直角三角形(∠B=60°,∠BAF=30°)
∵E是AB的中点
∴EF=BF=AE=AD=1/2AB
∴△AEF是等腰三角形,△AED是等腰三角形(∠AED=∠ADE)
∵∠B=60°
∴△AEF是等边三角形
∴∠BEF=60°
∵∠EAD=∠DAF+∠BAF=120°
∴∠AED=∠ADE=(180°-∠EAD)/2=30°
∴∠DEF=180°-∠AED-∠BEF=180°-30°-60°=90°
∴FE⊥DE

Answer 3

证明：连接AF，延长DE与CB的延长线交于点G
∵F是BC的中点
∴BF＝CF＝BC/2
∵BC＝2AD
∴AD＝BC/2
∴AD＝CF＝BF
∵AD∥BC，BC⊥CD
∴矩形AFCD
∴AF⊥BC
∵E是AB的点
∴EF＝AE＝BE （直角三角形中线特性）
∵∠ABC=60
∴等边△BEF，∠BFE＝60
∴BF＝BE
∵AD∥BC
∴∠G＝∠ADE，∠GBE＝∠DAE
∴△GBE≌△DAE （AAS）
∴BG＝AD
∴BG＝BF
∴BG＝BE
∴∠G＝∠BEG
∴∠ABC＝∠G+∠BEG＝2∠G
∴∠G＝30
∴∠G+∠BFE＝30+60＝90
∴∠GEF＝90
∴FE⊥DE

Answer 4

连接DF和AF
∵BC=2AD且F是BC的中点
∴BF=FC=AD
直角三角形ABF中，
∵∠B=60且E是AB的中点
∴BF=BE
∴三角形BEF为等边三角形，即BF=EF=BE
又∵BF=FC
∴EF=FC
∵AD=BF且AD平行BC
∴AB平行DF
∴∠B=∠DEF=60° ∠EFD=∠BEF
∵三角形BEF为等边三角形
∴∠BEF=60°
∴∠DEF=∠EFD=60°
又∵EF=FC且DF为公共边
∴△DEF≌△DCF
∵BC垂直CD
∴FE⊥DE

Answer 5

有图不？