Question

已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，⊙O过D、B、C三点，∠DOC=2∠ACD=90°．

已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，⊙O过D、B、C三点，∠DOC=2∠ACD=90°．
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）如果∠ACB=75°，⊙O的半径为4，求BD的长．
第（2）问 如果∠ACB=75°，⊙O的半径为4，求弧BD的长

Answer 1

①∵∠ACD＝½90º＝45º（已知）；
∠OCD＝½90º＝45º（已知等腰直角三角形OCD），∠ACO＝90º。
∴AC 是⊙O的切线（与园相交的直线垂直于过交点的半径，该直线是园的切线）。
②∵∠BCD＝75º﹣45º＝30º；连接OB，则∠BOD＝60º（圆心角是同弧上圆周角的两倍）；
∴依余弦定理得：BD²＝4²＋4²﹣2×4×4cos60º
　　　　　　　　　　　＝32﹣16＝16；
　故　BD＝4　。

追问

那请问弧BD怎么求呢

追答

最后一句已写“BD＝4”。

追问

弧BD和BD不一样啊 弧BD是那条弧线 而不是弧线啊

追答

②BD弧长＝∏4×2÷360×60＝4∏／3≈4.1866 。

Answer 2

（1）证明：∵2∠ACD=90°，
∴∠ACD=45°
∵∠DOC=90°，且DO=CO，
∴三角形OCD为等腰直角三角形，∠OCD=45°
∴∠ACO=∠ACD+∠DCO=45°+45°=90°
∴直线AC是⊙O的切线．

（2）解：连接BO，
∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，
∴∠DCB=30°，
∴∠DOB=60°，
∵DO=BO，
∴△BDO为等边三角形，
∴BD=OB=4．

Answer 3

①∵∠ACD＝½90º＝45º（已知）；
∠OCD＝½90º＝45º（已知等腰直角三角形OCD），∠ACO＝90º。
∴AC 是⊙O的切线（与园相交的直线垂直于过交点的半径，该直线是园的切线）。
②∵∠BCD＝75º﹣45º＝30º；连接OB，则∠BOD＝60º（圆心角是同弧上圆周角的两倍）；
因为OB=OD所以三角形OBD是等边三角形，BD=OB=OD=4