Question

高中数学 三角向量综合题 求解大题

5.已知函数f(x)=(√3)cos2x+2sinx sin(x+π/2).
（1）求f(x)的最小正周期。最大值以及取得最大值时x的集合。
（2）若A是锐角三角形△ABC的内角，f(A)=0,b=5,a=7,求△ABC的面积。
6.设△ABC的内角A,B,C,所对的边长分别为a,b,c,且cosB=4/5,b=2.
(1)当A=30°时，求a的值；
（2）当△ABC的面积为3时，求a+c的值。

Answer 1

5.（1）f(x)=(√3)cos2x+2sinx sin(x+π/2).
=√3cos2x+2sinxcosx
=sin2x+√3cis2x
= 2sin(2x+π/3).
∴最小正周期T=2π/2=π，
f(x) 最大值为2
当2x+π/3=2kπ+π/2,k∈Z
即2x=2kπ+π/6,k∈Z时，f(x)取得最大值
此时， x的集合是（x| x=kπ+π/12,k∈Z）.
(2) ∵f(A)=0 ∴sin(2A+π/3)=0
∵A为锐角, π/3<2A+π/3<4π/3
∴ 2A+π/3=π, ∴A=π/3,
根据余弦定理：a²=b²+c²-2abcosA
∴49=25+c²-5c,c²-5c-24=0
解得：c=8(舍负）
∴SΔABC=1/2（bcsinA）=1/2*5*8*√3/2=10√3.

6. （1）∵cosB=4/5,0<B<π, ∴sinB=3/5
又 b=2,A=30°
根据正弦定理 a/sinA=b/sinB得到
a=bsinA/sinB =2*sin30º/(3/5)=5/3

(2) ∵S△ABC=3 ∴1/2*acsinB=3,
∴1/2ac*3/5=3 ∴ac=10
根据余弦定理：b²=a²+c²-2accosB
得：4=a²+c²-8/5ac ∴a²+c²=20
∴(a+c)²=a²+c²+2ac=20+20=40
∴a+c=√40=2√10

Answer 2

5.（1）f(x)=(√3)cos2x+2sinx sin(x+π/2).化简得f(x)=2sin(2x+π/3).
故最小正周期T=π，最大值为2，x的集合是（x=kπ+π/12）.
(2) 由f(A)=0且A为锐角,可的到A=π/3,由式cos（A）=(b^2+c^2-a^2)/(2ab)得c=8,再由三角型面积 积公式可得，S=1/2（bcsinA）可求出S=10√3.
6. （1）解；cosB=4/5则sinB=3/5，且b=2.再由式sinA/a=sinB/b=sinC/c可得到
a=5/3;
(2) sinB=3/5，面积公式S=1/2(acsinB)=3得到ac=10,再由cos（B）=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=4/5得到a^2+c^2=20,所以有(a+c)^2=a^2+c^2+2ac=40得到a+c=2√10.