Question

已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，⊙O过D、B、C三点，∠DOC=2∠ACD=90°．

已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，⊙O过D、B、C三点，∠DOC=2∠ACD=90°．
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）如果∠ACB=75°，⊙O的半径为4，求弧BD的长．

Answer 1

①∵△DOC是等腰直角三角形（已知），∠DCO＝45º；∠ACD＝45º（已知）；
　∴∠ACO＝45º＋45º＝90º，故AC是⊙O的切线
（与园相交的直线垂直于过交点的半径则直线是园的切线）。
②∵∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝75º﹣45º＝30º，
　弧BD所对圆心角＝2×30º（圆心角是同弧圆周角的两倍）＝60º；
　∴BD弧长＝∏2×4÷360×60＝4∏／3≈4。1866。

Answer 2

（1）证明：∵2∠ACD=90°，
∴∠ACD=45°
∵∠DOC=90°，且DO=CO，
∴三角形OCD为等腰直角三角形，∠OCD=45°
∴∠ACO=∠ACD+∠DCO=45°+45°=90°
∴直线AC是⊙O的切线．

（2）解：连接BO，
∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，
∴∠DCB=30°，
∴∠DOB=60°，
∵DO=BO，
∴△BDO为等边三角形，
∴BD=OB=4．

Answer 3

1）证明：∵2∠ACD=90°，
∴∠ACD=45°
∵∠DOC=90°，且DO=CO，
∴三角形OCD为等腰直角三角形，∠OCD=45°
∴∠ACO=∠ACD+∠DCO=45°+45°=90°
∴直线AC是⊙O的切线．

（2）解：连接BO，
∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，
∴∠DCB=30°，
∴∠DOB=60°，
∵DO=BO，
∴△BDO为等边三角形，
∴BD=OB=4．