Question

n阶矩阵A与对角矩阵相似吗，为什么？

Answer 1

成立。

分析过程如下：

定理：如果AB=0，则秩(A)+秩(B)≤n

证明：将矩阵B的列向量记为Bi

∵AB=0

∴ABi=0

∴Bi为Ax=0的解

∵Ax=0的基础解系含有n-秩(A)个线性无关的解

∴秩(B)≤n-秩(A)

即秩(A)+秩(B)≤n

扩展资料

n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量。

注： 定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法。

若矩阵可对角化，则可按下列步骤来实现：

（1） 求出全部的特征值；

（2）对每一个特征值,设其重数为k,则对应齐次方程组的基础解系由k个向量构成，即为对应的线性无关的特征向量；

（3）上面求出的特征向量恰好为矩阵的各个线性无关的特征向量。

n阶矩阵A可对角化的充要条件是对应于A的每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数，即设是矩阵A的重特征值。

参考资料来源：百度百科——相似矩阵