Question

求y=Ln(1+x²)的麦克劳林展开式

Answer 1

我们可以使用泰勒公式来计算y=Ln(1+x²)的麦克劳林展开式。根据泰勒公式，如果函数f(x)在x=a处具有n阶导数，则f(x)在x=a处的n阶麦克劳林展开式为：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)²/2! + ... + fⁿ(a)(x-a)^n/n! + Rⁿ(x)
其中Rⁿ(x)为余项，它表示f(x)在x=a处的n+1阶导数的函数值与fⁿ(x)在x=a处的函数值之差。因此，如果余项Rⁿ(x)在某个区间内趋于0，则麦克劳林展开式可以近似地代替原函数f(x)。
现在，我们需要求解y=Ln(1+x²)的麦克劳林展开式。首先，我们需要求出y的各阶导数，然后将其代入泰勒公式中，即可得到y的麦克劳林展开式。
首先求解y的一阶导数：
y' = d/dx(Ln(1+x²)) = 2x/(1+x²)
然后求解y的二阶导数：
y'' = d²/dx²(Ln(1+x²)) = -4x²/(1+x²)² + 2/(1+x²)
接着，我们可以列出y的麦克劳林展开式：
y = y(a) + y'(a)(x-a)/1! + y''(a)(x-a)²/2! + ...
将a设为0，则有：
y = y(0) + y'(0)x/1! + y''(0)x²/2! + ...
此时，y(0) = Ln(1+0²) = 0，y'(0) = 2*0/(1+0²) = 0，y''(0) = -4*0²/(1+0²)² + 2/(1+0²) = 2。
因此，y的麦克劳林展开式为：
y = 0 + 0 + 2x²/2! + ...
化简得：
y = x²/2 - x⁴/4 + x⁶/6 - ...
因此，Ln(1+x²)的麦克劳林展开式为：
Ln(1+x²) = x²/2 - x⁴/4 + x⁶/6 - ...