Question

已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)，求最大值，要过程

已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)，求最大值，要过程
图像的列表也请帮忙列一下

Answer 1

f(x)=2sinx(sinx+cosx)
=2sin²x+2sinxcosx
=1-cos2x+sin2x
=sin2x-cos2x+1
=√2sin(2x-π/4)+1
当2x-π/4=2kπ+π/2,k∈Z
即 x=kπ+3π/8,k∈Z时，
f(x)取得最大值√2+1

五点法画图列表：
x π/8 3π/8 5π/8 7π/8 9π/8
2x-π/4 0 π/2 π 3π/2 2π
f(x) 1 √2+1 1 -√2+1 1

Answer 2

2sinx(sinx+cosx)
= 1 - Cos[x]^2 + 2 Cos[x] Sin[x] + Sin[x]^2
二倍角公式：
Cos[2x] = Cos[x]^2-Sin[x]^2 Sin[2x] = 2Cos[x]Sin[x]
于是
f(x)= 1 - Cos[x]^2 + 2 Cos[x] Sin[x] + Sin[x]^2
=1+Sin[2x]-Cos[2x]
=1-Sqrt[2] Sin[Pi/4 - 2 x]
在x=Pi * 3/8的时候，f[x]取最大值
1 + √2