Question

在三角形ABC中,2tanB=3tanC,AB=1,则三角形ABC的面积的最大值是多少

如果可以，希望用几何的方法回答。
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Answer 1

过点A作AD⊥BC于D，显然0<AD<AB=1
tanB=AD/BD，tanC=AD/CD=AD/(BC-BD)
因为2tanB=3tanC，且根据勾股定理，BD^2+AD^2=AB^2=1
所以2AD/√(1-AD^2)=3AD/[BC-√(1-AD^2)]
2/√(1-AD^2)=3/[BC-√(1-AD^2)]
3√(1-AD^2)=2BC-2√(1-AD^2)
BC=(5/2)*√(1-AD^2)
所以S△ABC=(1/2)*BC*AD
=(5/4)*AD*√(1-AD^2)
<=(5/8)*[AD^2+(1-AD^2)]
=5/8，当且仅当AD=√(1-AD^2)，AD=√2/2时，等号成立
所以△ABC的面积最大值为5/8