Question

高中数学取值范围

a,b,c满足5c-3a<=b<=4c-a clnb>=a+clnc,那么b/a的取值范围是什么
求过程

Answer 1

这是江苏高考题，但有条件a,b,c为正数，我是这样思维的：
4c-a>=b>=0，c/a>=1/4 ；5c-3a<=4c-a，c/a<=2
从而 b/a<=2*4-1=7,特别当b/a=7时，第二个不等式不成立。
又c ln b≥a+c ln c 知道0<a<=cln(b/c)
从而b/a>=(b/c)/ln(b/c),设函数f(x)=x/ln(x).(x>1)由导数知识知道函数的最小值为e，从而b/a>=e,
等号当且仅当b/c=e,b/a=e成立。代入第一个不等式知：2<=b/a=e<=3，不等式成立,从而e可以取得。从而b/a的取值范围是[e,7)左闭右开。

追问

7如何得来

Answer 2

4c-a>=b>=0，c/a>=1/4 ；5c-3a<=4c-a，c/a<=2
从而 b/a<=2*4-1=7,特别当b/a=7时，第二个不等式成立。
又c ln b≥a+c ln c 知道0<a<=cln(b/c)
从而b/a>=(b/c)/ln(b/c),设函数f(x)=x/ln(x).(x>1)由导数知识知道函数的最小值为e，从而b/a>=e,
等号当且仅当b/c=e,b/a=e成立。代入第一个不等式知：2<=b/a=e<=3，不等式成立,从而e可以取得。从而b/a的取值范围是[e,7】左闭右闭。