Question

为什么说拉格朗日中值定理是核心，罗尔定理是其特殊情况，柯西定理是其推广。

Answer 1

1. 罗尔定理是拉格朗日中值定理当函数在两个端点的函数值相等时的特殊情况；

2. 当柯西中值公式里分母对应的函数是f(x)=x时，就得到拉格朗日中值公式。所以拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，也就是说，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广。

3. 既然柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，为什么要说拉格朗日中值定理是核心呢？这有两个原因：其一，拉格朗日中值定理的应用远比柯西中值定理要广泛得多，这在高等数学这门课程稍后的知识推证中很明显，到后续课程的学习时会有更多体会；其二，把拉格朗日中值定理应用到用参数方程x=f(t)，y=g(t)表示的函数y=F(x)上去，你会发现得到的就是柯西中值公式。这从另一个角度说明了拉格朗日中值定理的核心地位。