Question

急急急！！！ 函数g(x)=ax³+2×(1-a)x²-3ax在区间(﹣∞，a/3)上单调递减，求a的取值范围

Answer 1

先对g(x)=ax³+2×(1-a)x²-3ax求导得
g‘(x)=3ax^2+4×(1-a)x-3a, g(x)在(﹣∞，a/3)递减，则g‘(x)在(﹣∞，a/3)上小于等于0
(1) a=0时，g‘(x)小于等于0，解得x小于等于0，即g(x)的减区间是(﹣∞，0)
所以a/3小于等于零，才能g(x)在(﹣∞，a/3)递减，解得a=0
(2)a>0,g’(x)是一个开口向上的抛物线，要使g‘(x)在(﹣∞，a/3)上小于等于0
解得a无解
(3)a<0,g’(x)是一个开口向下的抛物线，设g’(x)与x轴的左右两交点为A(x1,0),B(x2,0)
有韦达定理，知x1+x2=-4(1-a)/(3a)，x1x2=-1
解得x1=-(2-2a+√(13a^2-8a+4）
则在A左边和B右边的部分g‘(x)小于等于0
又知g(x)在(﹣∞，a/3)递减，即g‘(x)在(﹣∞，a/3)上小于等于0
所以是x1大于等于a/3,
解得-1≦a≦5, 取交集，得—1≦a<0
所以a的取值范围是—1≦a≦0

Answer 2

f '(x)=3ax^2+4(1-a)x-3a
若a=0 f(x)=2x^2结论成立，所以a=0是a的一个取值范围中的。
若a<>0，则只能是小于零，而导函数的根的判别式显然大于零，所以根据题意
是小根大于a/3
来不及了

Answer 3

解:令g'(x)=3ax^2+4(1-a)x-3a,
(1)当a=0时，g'(x)=4x，要使g'(x)<0，必须x<0，即有a<0，与a=0矛盾，无解；
(2)当a>0时，令g‘(x)=3ax^2+4(1-a)x-3a，函数g'(x) 为开口向上的抛物线，
b^2-4ac=16(1-a)^2+36a^2>0，g'(x)与x轴有2个交点，解得
x1=[2a-2-√(13a^2-8a+4)]/(3a)，
x2=[2a-2+√(13a^2-8a+4)]/(3a)，所以当x1<x<x2时，g'(x)<0，令x2<a/3，可解得a的范围。
(3) 当a<0时，令g‘(x)=3ax^2+4(1-a)x-3a，函数g'(x) 为开口向下的抛物线，
b^2-4ac=16(1-a)^2+36a^2>0，g'(x)与x轴有2个交点，解得
x1=[2a-2-√(13a^2-8a+4)]/(3a)，
x2=[2a-2+√(13a^2-8a+4)]/(3a)，所以当x<x1或x>x2时，g'(x)<0，令x1<a/3，可解得a的范围。