Question

求解 速度啊！！！！！

他们的圆心的横坐标分别记为a1，a2········，an，已知a1=1/4，a1>a2>a3·····an>0，又圆Ck（k=1，2，3，······n）都与x轴相切，且顺次逐个相邻外切
（1）求a2
（2）求由a1，a2········，an构成的数列｛an｝的通项公式；求证：a1^2+a2^2·····an^2<1/4

Answer 1

有没有图啊，我貌似只会第二道题：
圆C[k]（k=1，2，3，······n）都与x轴相切，且顺次逐个相邻外切
那么圆C[k]的半径Rk=ak^2，而且圆C[k]与圆C[k-1]的圆心的距离等于半径和
所以所以√ { (a[k]-a[k-1])^2+(a[k]^2-a[k-1]^2)^2 } = a[k]^2+a[k-1]^2
所以(a[k]-a[k-1])^2=4a[k]^2a[k-1]^2
a[k-1]-a[k]=2a[k]a[k-1]
同时除以a[k]a[k-1]
1/a[k]-1/a[k-1]=2
所以1/a[k]是等差数列1/a1=4
所以1/a[n]=1/a[1]+2(n-1)=2n+2
a[n]=1/2(n+1)
a[2]=1/6

(2)a[n]=1/2(n+1) a[n]^2=1/4(n+1)^2=1/[4(n+1)*(n+1)]<1/[4*n*(n+1)]=1/4(1/n-1/(n+1))
所以a[1]^2+a[2]^2……+a[n]^2<1/4(1/1-1/2+1/2-1/3……+1/n-1/(n+1))
=1/4(1-1/(n+1)<1/4
得证

Answer 2

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Answer 3