Question

第二步的积分怎么算的啊？

从第一步到第二步的转换没看懂

Answer 1

二重积分先对y积分时，x当作常数，正好有个y可以放到后面凑微分，所以∫（-1，1）dx∫（x，1）y√（1+x²-y²）dy=-1/2∫（-1，1）dx∫（x，1）√（1+x²-y²）d（1+x²-y²）（注意对y积分x当常数所以d（1+x²-y²）=-2y，前面需要补系数使得等式不变）

之后就利用∫√udu=2/3*u^（3/2），得出-1/2∫（-1，1）[2/3*（1+x²-y²）^（3/2）|（x，1）]dx=-1/3∫（-1，1）（1+x²-y²）^（3/2）|（x，1）]dx