Question

泰勒展开可以用等价无穷小吗？

Answer 1

可以用，泰勒展开只是在某点邻域展开，邻域可大可小。

而且泰勒展开本来得到的就是近似值，误差可大可小（就像高赞回答说的，x趋于正无穷时，x^n为高阶无穷大。

一般使用的等价无穷小只是在零点处的麦克劳林展开，误差为0的高阶无穷小。

给个例子

Answer 2

是的，泰勒展开可以用等价无穷小来表示。在数学中，泰勒展开是将一个函数表示为一系列无穷次幂的和的方法，通常用于在某个点的邻域内近似表示函数。
设函数 f(x) 在点 x=a 处可导，那么它的泰勒展开式可以表示为：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + f'''(a)(x-a)³/3! + ...
其中，f(a) 为函数 f(x) 在点 x=a 处的函数值，f'(a) 为 f(x) 在点 x=a 处的一阶导数，f''(a) 为二阶导数，依此类推。
等价无穷小则是指当 x 趋近于某个值时，它的极限为零的函数。在泰勒展开中，我们通常使用等价无穷小来近似高阶导数项，因为高阶导数的计算可能较为繁琐。对于一些简单的函数，可以通过等价无穷小来近似展开项，使得计算更加简便。
总而言之，泰勒展开是一个有用的数学工具，它可以用等价无穷小来表达，并且在数学分析、物理学、工程学等领域有广泛的应用。