2/3
解题过程如下：
lim (1/x² - cot²x)，x趋向0
= lim (1/x² - cos²x/sin²x)，通分
= lim (sin²x - x²cos²x)/(x²sin²x)，分母sin²x等价x²
= lim cos²x(tan²x - x²)/x^4，分子提取cos²x出来并注意lim cos²x = 1
= lim (tanx - x)(tanx + x)/x^4，平方差
= lim (tanx - x)/x³ * lim (tanx + x)/x，第一项用洛必达法则上下求导
= lim (sec²x - 1)/3x² * ( lim tanx/x + 1)，tanx等价x
= lim tan²x/3x² * (1 + 1)，恒等式sec²x - 1 = tan²x
= lim x²/3x² * 2，tan²x等价x²
= 2/3
“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。
数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。
扩展资料
柯西把无穷小视为“以0为极限的变量”，这就正确地确立了“无穷小”概念为“似零不是零去却可以人为用等于0处理”的办法，这就是说，在变量的变化过程中，它的值实际上不等于零，但它变化的趋向是向“零”，可以无限地接近于零。那么人们就可以用“等于0”来处理，是不会产生错误结果的。
柯西试图消除极限概念中的几何直观，（但是“几何直观”不是消极的东西，我们研究函数时也可以可以发挥想像力——“动态趋势的变量图像，假设被放大到巨大的天文倍数以后，我们也会永远不能看到变量值‘重合于0”，所以用不等式表示会更加“明确”）作出极限的明确定义，然后去完成牛顿的愿望。
= lim (1/x² - cos²x/sin²x)，通分
= lim (sin²x - x²cos²x)/(x²sin²x)，分母sin²x等价x²
= lim cos²x(tan²x - x²)/x^4，分子提取cos²x出来并注意lim cos²x = 1
= lim (tanx - x)(tanx + x)/x^4，平方差
= lim (tanx - x)/x³ * lim (tanx + x)/x，第一项用洛必达法则上下求导
= lim (sec²x - 1)/3x² * ( lim tanx/x + 1)，tanx等价x
= lim tan²x/3x² * (1 + 1)，恒等式sec²x - 1 = tan²x
= lim x²/3x² * 2，tan²x等价x²
= 2/3
= lim (1/x² - cos²x/sin²x)，通分
= lim (sin²x - x²cos²x)/(x²sin²x)，分母sin²x等价x²
= lim cos²x(tan²x - x²)/x^4，分子提取cos²x出来并注意lim cos²x = 1
＝（tan²x－x²）／x^4
泰勒公式展开
＝（（x＋x³／3）²－x²）／x^4
＝（（x²＋2x^4／3＋ox^4）－x²）／x^4
＝2／3
