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一、选择题:
C D B D D D C C
二、填空题
9.正方体ABCD-A1B1C1D1中,与对角线AC1异面的棱有 6 条
10.已知直线a//平面 ,平面 //平面 ,则a与 的位置关系为 a// 或a
11.空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
①若AC=BD,则四边形EFGH是 菱形 ;
②若 则四边形EFGH是 长方形
12.在四面体A-BCD中,E、F分别是AB、CD的中点,BD、AC所成的角为 ,BD=AC=1,
则EF的长度为 1/2
三、解答题:
13.如图所示,在正三棱锥S—ABC中,D,E,F分别是棱AC,BC,SC
上的点,且CD=2AD,CE=2BE,CF=2SF,G是AB的中点。求证:SG∥平面DEF。
证明:∵CF/SF=CD/DA,CD/DA=CE/EB
∴DF//SA,DE//AB
又∵SA 平面SAB,AB 平面SAB
∴DF//平面SAB,DE//平面SAB
且 DF,DE 平面DEF,SG 平面SAB
∴SG//平面DEF
14、如图: 是⊙ 的直径, 垂直于⊙ 所在的平面, 是圆周上不同于 的任意一点,求证:
证明:∵PA⊥⊙ 所在的平面,△ABC ⊙ 所在的平面
∴PA⊥△ABC
∵BC △ABC
∴PA⊥BC
又∵AB是⊙ 的直径,C在圆周上
∴BC⊥AC
即BC⊥AC,BC⊥PA
∴BC⊥△PAC
15、在正方体 中,E是 的中点,求证: .
证明:做BD中点F,连接A1F,EF,连接A1E
∵A1D=A1B,BE=ED
∴A1F⊥DB,EF⊥DB
又:不妨设正方形棱长为1,则在△A1EF中:
A1F=根号6/2,EF=根号3/2,A1E=3/2
∴A1F⊥EF
且A1F △A1BD,EF △BED
△ A1BD∩△BED=DB
∴A1BD⊥△BED
16、如图, 已知四棱锥P—ABCD中,底面四边形为正方形,侧面PDC为正三角形,且平面PDC⊥底面ABCD,E为PC中点。
(1)求证:PA∥平面EDB。
(2)求证:平面EDB⊥平面PBC。
证明:(1)连接AC交BD于F,连接EF
∵ABCD为正方形
∴F为AC中点
又∵E为PC中点
∴EF//AP
且∵EF △EDB
∴PA∥平面EDB
(2) 不妨设正方形边长为1
则DE=根号3/2,BE=根号5/2,DB=根号2
∴DE⊥EB
又∵DE △EDB, △EDB∩△PBC=EB
∴平面EDB⊥平面PBC
17.如图,在四棱锥P—ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD= ,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值;
(1) 证明:连接CO
∵AB⊥AD,AB=AO=BC=CO
∴AO⊥CO
又∵AP=PD,O为中点
∴AO⊥PO
即:AO⊥△POC
且AO 平面ABCD
∴平面ABCD⊥△POC
且PO △POC
∴PO⊥平面ABCD
(2) 解:连接BO
∵OD=BC,OD//BC
∴CD//BO
在△BPO中,PO=1,BO=根号2,BP=根号3
∴cos角PBO=根号6/3
即:异面直线PB与CD所成角的余弦值为根号6/3
C D B D D D C C
二、填空题
9.正方体ABCD-A1B1C1D1中,与对角线AC1异面的棱有 6 条
10.已知直线a//平面 ,平面 //平面 ,则a与 的位置关系为 a// 或a
11.空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
①若AC=BD,则四边形EFGH是 菱形 ;
②若 则四边形EFGH是 长方形
12.在四面体A-BCD中,E、F分别是AB、CD的中点,BD、AC所成的角为 ,BD=AC=1,
则EF的长度为 1/2
三、解答题:
13.如图所示,在正三棱锥S—ABC中,D,E,F分别是棱AC,BC,SC
上的点,且CD=2AD,CE=2BE,CF=2SF,G是AB的中点。求证:SG∥平面DEF。
证明:∵CF/SF=CD/DA,CD/DA=CE/EB
∴DF//SA,DE//AB
又∵SA 平面SAB,AB 平面SAB
∴DF//平面SAB,DE//平面SAB
且 DF,DE 平面DEF,SG 平面SAB
∴SG//平面DEF
14、如图: 是⊙ 的直径, 垂直于⊙ 所在的平面, 是圆周上不同于 的任意一点,求证:
证明:∵PA⊥⊙ 所在的平面,△ABC ⊙ 所在的平面
∴PA⊥△ABC
∵BC △ABC
∴PA⊥BC
又∵AB是⊙ 的直径,C在圆周上
∴BC⊥AC
即BC⊥AC,BC⊥PA
∴BC⊥△PAC
15、在正方体 中,E是 的中点,求证: .
证明:做BD中点F,连接A1F,EF,连接A1E
∵A1D=A1B,BE=ED
∴A1F⊥DB,EF⊥DB
又:不妨设正方形棱长为1,则在△A1EF中:
A1F=根号6/2,EF=根号3/2,A1E=3/2
∴A1F⊥EF
且A1F △A1BD,EF △BED
△ A1BD∩△BED=DB
∴A1BD⊥△BED
16、如图, 已知四棱锥P—ABCD中,底面四边形为正方形,侧面PDC为正三角形,且平面PDC⊥底面ABCD,E为PC中点。
(1)求证:PA∥平面EDB。
(2)求证:平面EDB⊥平面PBC。
证明:(1)连接AC交BD于F,连接EF
∵ABCD为正方形
∴F为AC中点
又∵E为PC中点
∴EF//AP
且∵EF △EDB
∴PA∥平面EDB
(2) 不妨设正方形边长为1
则DE=根号3/2,BE=根号5/2,DB=根号2
∴DE⊥EB
又∵DE △EDB, △EDB∩△PBC=EB
∴平面EDB⊥平面PBC
17.如图,在四棱锥P—ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD= ,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值;
(1) 证明:连接CO
∵AB⊥AD,AB=AO=BC=CO
∴AO⊥CO
又∵AP=PD,O为中点
∴AO⊥PO
即:AO⊥△POC
且AO 平面ABCD
∴平面ABCD⊥△POC
且PO △POC
∴PO⊥平面ABCD
(2) 解:连接BO
∵OD=BC,OD//BC
∴CD//BO
在△BPO中,PO=1,BO=根号2,BP=根号3
∴cos角PBO=根号6/3
即:异面直线PB与CD所成角的余弦值为根号6/3
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