Question

一道关于动能定理的物理计算题，急需求解，谢谢！

竖直平面内的3/4圆弧形光滑轨道半径为R，A端与圆心等高，AD为水平面，B点在O的正上方，一个小球在A点正上方由静止释放，自由下落至A点进入圆轨道并恰能到达B点。求：
（1）.释放点距A点的竖直高度
（2）.落点C与A点的水平距离

Answer 1

（1）取AD所在水平面为零势能处，设小球从高h处下落经A点进入圆弧形光滑轨道恰能到达B点，则在整个过程中只有重力做功（轨道支撑力不做功），机械能守恒。设在B处小球速度为V（沿着水平方向)依题意有 mgh = mgR + ½mv² 又小球恰能经过B点，轨道支撑力为0，只有重力提供向心力，又有 mg=mv²/R ，联立求解可得V=根号gR , h = 3/2R
（2）小球在B处有水平速度V，又受到重力，故作平抛运动。设落到水平面的时间为t，故有
R = ½gt^2，t = 根号(2R / g) 落点C与O点的水平距离S = Vt =根号gR X根号(2R / g)=根号2倍R
故落点C与A点的水平距离=根号2倍R - R = （根号2 - 1）R

Answer 2

（1）以圆弧最低点为参考平面（零势能），刚好通过B点时，只有重力提供向心力，即：
mg=mv²/R，得v²=gR，机械能W=Ek+Ep=½mv²+mgh=½mgR+mg*2R=5/2mgR
根据机械能守恒，释放点动能为0，则mgH=5/2mgR，得H=5/2R
相对于A点高度：h相对=5/2R-R=3/2R
（2）离开B点做平抛运动，水平初速度为根号gR。机械能守恒，有：½gt²=W=5/2mgR，得：t=根号5mR
B与C水平距离s1=vt=根号gR*根号5mR=R*根号5mg
C与A水平距离s2=s1-R=R*（根号5mg-1）