Question

在过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC,BD的平分线，所围成的四边形显EFGH显然是平行四边形。

（1）：当四边形ABCD分别是菱形，矩形，等腰梯形时，相应的平行四边形一定是”菱形，矩形，正方形”中的哪一种？
（2）：反之，当用上述方法所围成的平行四边形EFGH分别是矩形，菱形时，相应的原四边形ABCD必须满足怎样的条件？给予证明？

Answer 1

（1）：当四边形ABCD分别是菱形，矩形，等腰梯形时，相应的平行四边形一定是“矩形，菱形，菱形，”
（2）：当用上述方法所围成的平行四边形EFGH是矩形时，
相应的原四边形ABCD必须对角线AC⊥BD 。
∵ 矩形EFGH ，
∴ EF⊥FG ，
∵ AC//EF ，BD//FG ，
∴ AC⊥BD 。

当用上述方法所围成的平行四边形EFGH是菱形时，
相应的原四边形ABCD必须对角线AC=BD 。
∵ 菱形EFGH ，
∴ EF=FG ，
∵ AC=EF ，BD=FG ，
∴ AC=BD 。

Answer 2

（1）当四边形ABCD是菱形、矩形、等腰梯形时， 相应的平行四边形一定是矩形、菱形、菱形。
（2）当上述方法围成的平行四边形分别是矩形、菱形时，
相应的原四边形ABCD必须满足对角线互相垂直、对角线相等。