Question

15.已知曲线 y=ax^2(a>0) 在 x=1 处的切线与曲线 y=e^x 也相切,则该切线的？

Answer 1

曲线 y=ax^2(a>0) 在 x=1处的点为（1，a）

注意到y'=2ax，则切线斜率为2a

则切线方程为y=2ax-a

由于该切线与曲线 y=e^x 也相切,不妨设切点为（m，n）

注意到y'=e^x，则切线斜率为e^m

则可得：

n=2am-a=e^m

2a=e^m

解得：

m=3/2，n=e^（3/2） a=1/2×e^（3/2）

则切线方程为y=e^（3/2）x-1/2×e^（3/2）

与曲线 y=1/2×e^（3/2）×x^2切于（1，1/2×e^（3/2））

与曲线 y=e^x切于（3/2，e^（3/2）

Answer 2

y=ax^2,
x=1时y=a.
y'=2ax,
x=1时y'=2a,
所以曲线y=ax^2在点(1,a)的切线为y=2a(x-1)+a,即y=2ax-a,
它与曲线y=e^x相切，
所以关于x的方程e^x=2ax-a有唯一解。
设f(x)=e^x-2ax+a,则
f'(x)=e^x-2a(a>0),
x<ln(2a)时f'(x)<0;x>ln(2a)时f'(x)>0,
所以f(x)≥f(ln(2a))=2a-2aln(2a)+a=0,
3-2ln(2a)=0
ln(2a)=3/2,a=(1/2)e^(3/2),
所以所求的切线方程是y=xe^(3/2)-(1/2)e^(3/2).