Question

已知函数f(x)=x2+2x+1,若存在实数t当x属于[1,m]时,f(x-t）小于等于x恒成立,求m最大值?

Answer 1

解：
f(x)=x^2+2x+1
f‘(x)=2x+2
令f'(x)＞0，即：2x+2＞0
解得：x＞-1
即当x∈(-1，∞)时，f(x)是增函数
而[1，m]是(-1，∞)的子集，所以：当x∈[1，m]时，f(x)是增函数。
f(x)=x^2+2x+1
f(x)=(x+1)^2
f(x-t)≤x
(x-t+1)^2≤x
x^2+t^2+1-2tx+2x-2t-x≤0
x^2-(2t-1)x+(t-1)^2≤0
[x-(t-1)]^2≤0
可见：x=t-1
因为：x∈[1，m]
所以：t-1∈[1，m]
有：t-1≥1…………(1)
和：t-1≤m…………(2)
由(1)，解得：t≥2
由(2)，解得：m≥t-1≥1
即：m≥1

Answer 2

f(x) = (x+1)^2
f(x-t) = (x-t+1)^2
f(x-t) <= x
(x-t+1)^2 <= x
(m-t+1)^2 <= m
解m

Answer 3

解：设g（x）=f（x+t）-x=x2+（2t+1）x+（1+t）2，
由题值f（x+t）-x≤0恒成立即g（1）≤0且g（m）≤0分别解得：
t∈[-3，-1]，m2+（2t+1）m+（t+1）2≤0，
即当t=-1时，得到m2-m≤0，解得0≤m≤1；当t=-3时，得到m2-5m+4≤0，解得1≤m≤4
综上得到：m∈[0，4]，所以m的最大值为4