Question

已知函数f(x)=x|x-2|.(1)写出f(x)的单调区间。（2）解不等式f(x)＜3。

Answer 1

解：（1）由 f(x)=x|x-2|. 知 当x≥2时， f(x)=x²-2x 当 x<2 时， f(x)=2x-x²
做出分段函数的图像知；函数的单调增区间为（-∞，1） (2,+∞)
函数的单调减区间为（1,2）。
（2） (i)当x≥2时，由f(x)＜3得 x²-2x<3 ，x²-2x-3<0 解得 -1<x<3 所以 2≤x<3
(ii)当x<2时, 由f(x)＜3得2x-x²<3 x²+2x+3>0 解得 x为实数 所以 x<2
综合 (i)和(ii)知，不等式f(x)＜3的解集为（-∞，3）

Answer 2

解：（1）函数f（x）=x|x-2|=x(x-2)，x≥2-x(x-2)，x＜2．
∴f（x）的单调递增区间是（-∞，1]和[2，+∞）；单调递减区间是[1，2]
（2）f（x）＜3等价于x≥2x2-2x-3＜0或x＜2x2-2x-3＞0
∴2≤x＜3或x＜2
∴不等式f（x）＜3的解集为{x|x＜3}
（3）①当0＜a＜1时，f（x）是[0，a]上的增函数，此时（x）在[0，a]上的最大值是f（a）=a（2-a）；
②当1≤a≤2时，f（x）在[0 1]上是增函数，在[1，a]上是减函数，此时f（x）在[0 a]上的最大值是f（1）=1
③当a＞2时，令f（a）-f（1）=a（a-2）-1=a2-2a-1＞0，解得a＞1+2
（ⅰ）当2＜a≤1+2时，此时f（a）≤f（1），f（x）在[0，a]上的最大值是f（1）=1
（ⅱ）当a＞1+2时，此时f（a）＞f（1），f（x）在[0，a]上的最大值是f（a）=a（a-2）
综上，当0＜a＜1时，f（x）在[0，a]上的最大值是a（2-a）．

Answer 3

解：（1）∵f（x）=x|x-2|=x2-2x (x≥2)-x2+2x(x＜2)​，
∴f（x）在（-∞，1]，[2，+∞）上单调递增，在[1，2]上单调递减，
∴f（x）的增区间为（-∞，1]，[2，+∞）；减区间为[1，2]；
（2）若x≥2，f（x）＜3⇔x2-2x＜3，解得2≤x＜3；
若x＜2，f（x）＜3⇔-x2+2x＜3，即x2-2x+3=（x-1）2+2＞0恒成立，
∴x＜2满足题意．
综上所述，不等式f（x）＜3的解集为{x|x＜3}．