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令x = sinθ,dx = cosθdθ
∫ dx/[1 + √(1 - x²)]
= ∫ cosθ/(1 + cosθ) dθ
= ∫ cosθ(1 - cosθ)/[(1 + cosθ)(1 - cosθ)] dθ
= ∫ (cosθ - cos²θ)/sin²θ dθ
= ∫ cscθcotθ dθ - ∫ cot²θ dθ
= - cscθ - ∫ (csc²θ - 1) dθ
= - cscθ - (- cotθ - θ) + C
= - 1/x + √(1 - x²)/x + arcsin(x) + C
∵sinθ = x,∴cosθ = √(1 - x²),cotθ = cosθ/sinθ = √(1 - x²)/x
∫ dx/[1 + √(1 - x²)]
= ∫ cosθ/(1 + cosθ) dθ
= ∫ cosθ(1 - cosθ)/[(1 + cosθ)(1 - cosθ)] dθ
= ∫ (cosθ - cos²θ)/sin²θ dθ
= ∫ cscθcotθ dθ - ∫ cot²θ dθ
= - cscθ - ∫ (csc²θ - 1) dθ
= - cscθ - (- cotθ - θ) + C
= - 1/x + √(1 - x²)/x + arcsin(x) + C
∵sinθ = x,∴cosθ = √(1 - x²),cotθ = cosθ/sinθ = √(1 - x²)/x
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解:令x=sint,t∈[-π/2,π/2],dx=costdt
∴原式=∫cost/(1+cost) dt=∫cost(1-cost)/(1-cos²t) dt=∫(cost-cos²t)/sin²tdt
=∫cost/sin²tdt-∫cot²tdt=∫1/sin²tdsint -∫(csc²t-1)dt=-(1/sint) +cott+t+C
=-(1/x)+[√(1-x²)/x]+arcsinx+C
∴原式=∫cost/(1+cost) dt=∫cost(1-cost)/(1-cos²t) dt=∫(cost-cos²t)/sin²tdt
=∫cost/sin²tdt-∫cot²tdt=∫1/sin²tdsint -∫(csc²t-1)dt=-(1/sint) +cott+t+C
=-(1/x)+[√(1-x²)/x]+arcsinx+C
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变量替换,x=sint,t=arcsinx,dx=costdt,根号(1-x^2)=cost,于是
原积分=积分 costdt/(1+cost)
=积分 【1-dt/(2cos^2(t/2)】
=t-积分 【sec^2(t/2)d(t/2)】
=t-tan(t/2)+C
=arcsinx-x/(1+根号(1-x^2))+C。
原积分=积分 costdt/(1+cost)
=积分 【1-dt/(2cos^2(t/2)】
=t-积分 【sec^2(t/2)d(t/2)】
=t-tan(t/2)+C
=arcsinx-x/(1+根号(1-x^2))+C。
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上面有了。就取消了。
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