Question

这个函数的不定积分怎么做啊...求救

明天就要考试了,还什么都不会..唉

麻烦附上过程啊.做得好会加分的

Answer 1

令x = sinθ，dx = cosθdθ
∫ dx/[1 + √(1 - x²)]
= ∫ cosθ/(1 + cosθ) dθ
= ∫ cosθ(1 - cosθ)/[(1 + cosθ)(1 - cosθ)] dθ
= ∫ (cosθ - cos²θ)/sin²θ dθ
= ∫ cscθcotθ dθ - ∫ cot²θ dθ
= - cscθ - ∫ (csc²θ - 1) dθ
= - cscθ - (- cotθ - θ) + C
= - 1/x + √(1 - x²)/x + arcsin(x) + C

∵sinθ = x，∴cosθ = √(1 - x²)，cotθ = cosθ/sinθ = √(1 - x²)/x

Answer 2

解：令x=sint,t∈[-π/2,π/2],dx=costdt
∴原式=∫cost/(1+cost) dt=∫cost(1-cost)/(1-cos²t) dt=∫(cost-cos²t)/sin²tdt
=∫cost/sin²tdt-∫cot²tdt=∫1/sin²tdsint -∫(csc²t-1)dt=-(1/sint) +cott+t+C
=-(1/x)+[√(1-x²)/x]+arcsinx+C

Answer 3

变量替换，x＝sint，t＝arcsinx，dx＝costdt，根号(1－x^2)=cost，于是
原积分＝积分 costdt/(1+cost)
＝积分 【1－dt/(2cos^2(t/2)】
＝t－积分 【sec^2(t/2)d(t/2)】
＝t－tan(t/2)+C
=arcsinx－x/(1+根号(1－x^2))+C。

Answer 4

上面有了。就取消了。