Question

如图，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，D是AC边上的一点，连接BD,作AE⊥BD交BC于点E，AF平分∠BAC角BD于点F试说

如图，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，D是AC边上的一点，连接BD,作AE⊥BD交BC于点E，AF平分∠BAC角BD于点F试说明AE=BF的理由。

Answer 1

由△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°知角ECA=（180°-90°）/2=45°，又AF平分∠BAC，所以角FAB=45°=角ECA；另一方面，设AE与BD交于点T，由AE⊥BD知角ATB=90°，所以90°=角ATB=角CAE+角ADT，又角ADT+角ABF=180°-角BAD=90°，所以角ABF=角CAE，又AB=CA，角BAF=角ACE，所以△ABF≌△CAE（ASA），所以BF=AE

Answer 2

证明：
∵∠BAC=90°，AE⊥BD
∴∠CAE+∠BAE=∠ABF+∠BAE=90°
∴∠ABF=∠CAE
∵△ABC是等腰直角三角形，AF是角平分线
∴∠BAF=∠C=45°
∵AB=AC
∴△BAF≌△CAE
∴AE=BF

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