Question

一道对坐标的曲面积分的问题，求过程，急！！在线等，好的加分！！

设有向曲面∑为锥面z=sqrt(x^2+y^2)（0≤z≤2）的下侧，求积分I=∫∫∑(x-y)dydz+(y-z)dzdx+(z-x)dxdy。

Answer 1

我给你解答吧，添加辅助面z=2，并且取上侧为正方向吧？这样可以得到了封闭曲面，构成力封闭空间了，用高斯公式化简曲面积分，化简为∫∫∫（3）dv吧？？？此时为外法线方向，不用加负号的，符合高斯公式的正方向规定的……简单的很，就是用锥的体积公式就能求出的，高度为2，底面积为2π吧？？？那么根据锥的体积公式可知∫∫∫（3）dv = 16π吧？？？在计算z=2时的曲面积分吧，带入积分式子得：∫∫（2-x）dxdy 吧？投影面为圆，方向取的上侧，所以不用加负号，但是这个圆是关于Y轴对称的，而积分函数中有关于x为奇函数的一项，则为零，所以就是计算了∫∫（2）dxdy吧？？？也是求面积，就是刚刚说过的2π，所以就是∫∫（2）dxdy=4π，所以最后的结果为16π- 4π = 12π ……