已知平面向量a,b且满足丨a一b丨=1且a丄b,问当a一b与3a一b的夹角最大时,b的模？
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设OA=a,OB=b,因丨a一b丨=1且a丄b，故
∠AOB=90°，|BA|^2=a^2+b^2=1.①
延长OA至C,使AC=2OA,则OC=3a,3a-b=BC,
tan∠OBA=|a|/|b|,tan∠OBC=3|a|/|b|,
所以tan∠CBA=(3|a|/|b|-|a|/|b|)/(1+3|a|/|b|*|a|/|b|)
=2|a|*|b|/(b^2+3a^2)≤1/√3，
当|b|=√3|a|=√3/2时取等号(见①)，
此时a一b与3a一b的夹角∠CBA最大,为30°，|b|=√3/2.
∠AOB=90°，|BA|^2=a^2+b^2=1.①
延长OA至C,使AC=2OA,则OC=3a,3a-b=BC,
tan∠OBA=|a|/|b|,tan∠OBC=3|a|/|b|,
所以tan∠CBA=(3|a|/|b|-|a|/|b|)/(1+3|a|/|b|*|a|/|b|)
=2|a|*|b|/(b^2+3a^2)≤1/√3，
当|b|=√3|a|=√3/2时取等号(见①)，
此时a一b与3a一b的夹角∠CBA最大,为30°，|b|=√3/2.
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