Question

已知边长为1的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A,C不重合），过点p作PE垂直于PB,PE交射线DC于

求证：PB等于PE
(2),在点P的运动过程中，PF的长度是否发生改变？若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由。
二。当点E落在线段DC的延长线上时，请在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述 一 中的结论是否仍然成立
三。在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能试求出AP,(不要内接于圆）

Answer 1

证明：一、(1)连BE,因∠BCE与∠BPE互补，PBCE四点共圆

∠PEB=∠PCB=45° 故PB=PE.或连PD，先证△PCB≅△PCD

(SAS)得PB=PD  ∠PBC=∠PDC    因为∠PBC与∠PEC互补

(用四边形内角和等于360度)，

∠PED和∠PEC互补(平角等于180度)

得∠PED=∠PBC=∠PDE得PD=PE=PB

(2)怎么平空冒出个PF来？莫不是PE么？因为PE=PB

而BP随着P点的移动而变化，P为AE中点时，PE最小值√(2)/2，

(√(2)/2)≤PE<1，则PE大于等于AC的一半而小于AB之间变化.

二、因∠BPE=∠BCE=90°得BPCE四点共圆得∠PEB=∠PCB=45°

故PB=PE

(不用四点共圆同样可用全等相似及等腰证PB=PD=PE)

三、若△PCE为等腰三角形只有一种可能，点E在DC延长线上，

PC=CE

这时：∠CPE=∠CEP=∠ACD/2=45/2=22.5°

∴∠APB=180-90-22.5=67.5°

∴∠ABP=180-67.5-45=67.5°

∴AP=AB=1

不要内接于圆是啥意思？

Answer 2

明：∵∠BPE=∠BCE=Rt∠，∴四边形BPCE内接于圆，
∴∠BEP=∠BCP=45°，∴∠EBP=45°，∴PB=PE；
连结BD交AC于点O，∵∠OBP+∠OPB=Rt∠，∠FPE+∠OPB=Rt∠，∴∠OBP=∠FPE，
在Rt△BOP和Rt△PFE中，∵∠BOP=∠PFE、∠OBP=∠FPE、PB=EP，
∴Rt△BOP≌Rt△PFE中，∴BO=PF，即在P的运动过程中，PF恒等于BO；
二、当E在DC延长线上时，一、中结论仍成立；
三、设△PEC中，CP=CE，∴∠CPE=∠CEP，
∵已证∠CPE=∠OBP，∠OBP+45°=∠ABP，
∵已证四边形BECP内接于圆，∠CEP+45°=∠CEB=∠APB，∴∠ABP=∠APB，AB=AP，
即当AP=AB时，△PEC中为等腰三角形，解毕。