Question

在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90º，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=1/2∠BAD，求证：EF=BE+FD

Answer 1

延长EB到G，使BG=DF，连接AG
∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，
∴△ABG≌△ADF．
∴AG=AF，∠1=∠2．
∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=1/2 ∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
又AE=AE，
∴△AEG≌△AEF．
∴EG=EF．
∵EG=BE+BG．
∴EF=BE+FD

追问

在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180º，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=1/2∠BAD，上题中结论是否仍然成立？

追答

成立

追问

在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180º，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=1/2∠BAD，1题中结论是否仍然成立，若成立请证明，若不成立请写出它们之间的数量关系。

追答

结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BE-FD．
证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADF．
∵AB=AD，
∴△ABG≌△ADF．
∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．
∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD
=∠EAF=1/2 ∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
∵AE=AE，
∴△AEG≌△AEF．
∴EG=EF
∵EG=BE-BG
∴EF=BE-FD

追问

请问，
∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD
=∠EAF=1/2 ∠BAD．
为什么
∠GAE=∠EAF．
最后一点儿，看不懂了，您是不是写错了。

追答

∵∠BAG=∠DAF
∴∠BAD=∠GAF
∵∠EAF=1/2 ∠BAD
∴∠EAF=1/2∠GAF
∴∠GAE=∠EAF