Question

△ABC中,D是BC上一点,P是AD上一点,若∠1=∠2,PB=PC,求证:AD⊥BC

图

Answer 1

因为∠1=∠2，ap=ap，pb=pc，所以三角形abp与三角形acp全等，所以ab
=ac，又ad=ad，∠1=∠2，所以三角形abd与acd也全等，所以∠adb=∠adc，又它们之和为180°，所以ad垂直bc

追问

饿 边边角怎么全等哦

追答

先做辅助线np、mp分别垂直ab、ac于点n、m，先证明apn与apm全等，所以an=am，且pn=pm，又bp=cp，∠bnp=∠cmp=90°，所以bnp与cmp全等，所以bn=cm，之前说an=am，所以an+bn=am+cm，即ab=ac，可证abd与acd全等，得：ad垂直bc。

Answer 2

证明：
作PE⊥AB，PF⊥AC
∵∠1=∠2
AP=AP
∴△APE≌△APF
∴PE=PF、AE=AF
∵PB=PC，∠PRB=∠PFC=90°
∴△PBE≌△PCF（HL）
∴BE=CF
∴AE+BE=AF+CF
即AB=AC
∵∠1=∠2
∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一）

Answer 3

证明：∵AD⊥BC，
∴∠AFB=∠AFC=90°，
又∵AB=AC，AF=AF，
∴Rt△ABF≌Rt△ACF，
∴∠BAP=∠CAP，
又∵AB=AC，AP=AP，
∴△ABP≌△ACP，
∴PB=PC．