Question

在同一直角坐标系中,正比例函数的图像可以看做是将x轴所在的直线绕着原点O逆时针

在同一直角坐标系中,正比例函数的图像可以看做是将x轴所在的直线绕着原点O逆时针旋转α度角后的图形，若它与反比例函数y=根号3/x的图像分别交于第一、三象限的点B，D，已知A(-m,0),C(m,0）ABCD是平行四边形，
1、当∠α=30°时，且ABCD是矩形，求A、B、C、D各点的坐标。
2、观察猜想：能使四边形ABCD为矩形的α的值共有几个？
3、探究ABCD是否是菱形，若是写出B点坐标，若不是，说明理由。
有 初二 所学的 可以解吗~

Answer 1

1.当角度α=30°，可推导出正比例函数的斜率为根号3/3，又因为正比例函数经过原点，可推导出正比例函数的解析式为y=(根号3/3)*x; 将此式与反比例函数y=根号3/x 联立，得出交点坐标为(根号3,1),(-根号3,-1); 再根据题目中给出的条件，ABCD是矩形，若设m为正数，则AO=BO=CO=DO=2;可推导出m=2; 则A,C 点的坐标不难推出了。
2、可以O为圆心，以m=2为半径画一个圆形，看此圆形与反比例函数有几个交点，若只有两个交点(第三象限一个，第四象限一个)，则只有一个α值能使之成为矩形。具体可将反比例函数与圆形的解析式联系方程组，求解看解的个数便可得知。
3、若ABCD为菱形，则对角线AC与BD相互垂直平分，则可推导出BD与y轴重合，而这是不可能发生的，与假设矛盾，因此，ABCD不可能为菱形。

针对问题补充的回答： 用初二的应该可以解的，弟2小题，由于反比例函数图象关于直线y=x对称，则60度角处还有一个交点。

追问

第一问 可以用 初二所学 的 吗~

如果不行 正比例函数的斜率 什么意思~

追答

就是直线倾斜角度的正切值，也就是角度α的正切值，tan α

Answer 2

一楼完全正解，看了楼主对一楼朋友的追问，楼主说要用初二所学的知识，那我就在第一问稍微做下修改吧，只用初二的知识！
首先过B点作BE垂直于X轴于E，在Rt△OEB中，因为∠BOE=30°，那我们设BE=x，那么BO=2x(30°所对的直角边是斜边的一半)，根据勾股定理算出OE=√3x；那么B的坐标就可以写成(x,√3x)因为B在反比例函数y=√3/x上，把B点坐标代入，得到√3x=√3/x,推出x²=1，解得x=±1，这里解出来的两个值实际可以一次得到B点和D点的坐标分别是(√3,1),(-√3,-1)。
这里只需要用到三角函数的知识就可以了。

Answer 3

（1）根据题意可知，
直线BD的方程为 y=tanαx；
当B点为 (p，1) 时，
代入反比例函数 y=√3/p，
得 p=√3；
将B (√3，1) 代入BD的方程 y=tanαx 中，得 1=tanα×√3
所以 α=30°=π/6；
由于ABCD是矩形，则 BD=AC，BO=DO=AO=CO
所以 m=BO=2（假设m是正数）。
（2）当m=2时，使ABCD为矩形的B点满足 BO=2，
此时B的坐标(x，y)应满足
①BO=2，即 √(x²+y²)=2
②B点在反比例函数上，即 y=√3/x
③x、y＞0
解得 x=1，y=√3，或 x=√3，y=1
可见，在m=2的情况下，共有2个B点使ABCD为矩形，
B1(√3，1)，B2(1，√3)，
其中B1即题目已给出的B点，B2为另一个满足条件的点。
（3）ABCD不可能是菱形，
因为假如ABCD是菱形，
将会有AC⊥BD，
而AC为x轴，
BD必穿过坐标轴原点，
将会推出BD是y轴，
这与B、D均是反比例函数上的点是相矛盾的，
可见ABCD不可能是菱形

Answer 4

只有方法：（1）联立直线和曲线方程得B,D坐标，令直线BA BC斜率之积为-1，解除m
(2)两个，六十度还有一个
（3）不是菱形BA BC 观察图像必定不等

Answer 5

初二的吗

追问

嗯 不知道有没有其他 办法~ 推荐答案 也 能看懂~