Question

如图,在平面直角坐标系中,已知A,B,C三点的坐标分别是A(-1,0),B(3,0)C(0,-3)半径为

如图，在直角坐标系中，已知A，B，C三点的坐标分别为A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）半径为√5的⊙M经过A，B，C三点，⊙M与y轴交于点D
（1）求圆心M的坐标
（2）若点E的坐标是（1,-4），求证：三角形BCE是直角三角形
（3）设角DBC=a，角CBE=b,求sin（a-b)的值
（4）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P,A,C为顶点的三角形与三角形BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

解答：
1、由抛物线与X轴的两个交点坐标可以设两根式：
y=a﹙x＋2﹚﹙x－6﹚，
将C点坐标代入解得：a=－¼，
∴y=－¼﹙x＋2﹚﹙x－6﹚。
2、令y=3代入解析式得：x=0或4，
∴D点坐标为D﹙4，3﹚，
由两点坐标分别解得AD、CB直线方程，
然后联立方程组解得交点E的坐标为E﹙2，2﹚。
3、将抛物线解析式变形得：y=－¼﹙x－2﹚²＋4，
∴对称轴x=2，∴P﹙2，4﹚，
设PE与CD相交于Q点，
由四点坐标及对称性得：
P、E两点关于CD对称，
C、D两点关于PE对称，
∴PE、CD互相垂直平分，
∴四边形CEDP是菱形﹙对角线互相垂直平分的四边形是菱形﹚。