Question

已知函数f(x)=ax+b/x+c（a、b、c∈R），满足f(-1)=0，且对于任意x＞0，都有0≤f(x)-1≤(x-1)^2/2x。

（1）求a、b、c的值
（2）若g(x)=f(x)-m/4x，x∈（0,2）时是减函数，求实数m的取值范围

Answer 1

1）
∵f(-1)=0∴c=a+b,f(1)=a+b+c=2c
∵0≤f(x)-1≤(x-1)²/2x
∴0≤f(1)-1≤0,f(1)-1=0,
∴c=1/2,2a=1-2b
由x＞0,f(x)-1≤(x-1)^2/2x,得
ax+b/x+c-1≤(x²-2x+1)/2x,2ax²+2b-x≤x²-2x+1,(1-2a)x²-x+1-2b≥0,2bx²-x+1-2b≥0
∵2bx²-x+1-2b≥0对x＞0恒成立,
∴b＞0，由函数g(x)=2bx²-x+1-2b的对称轴x=1/(4b)＞0
∴g(1/4b)≥0,即g(1/4b)=1/(8b)-1/(4b)+1-2b=(16b²-8b+1)/(-8b)=-(4b-1)²/(8b)≥0
∴4b-1=0，即b=1/4
∵a+b=c，∴a=1/4
综上，a=b=1/4,c=1/2
2）
g(x)=x/4+(1-m)/(4x)+1/2
g′(x)=1/4-(1-m)/(4x²)=(x²-1+m)/(4x²)
∵g(x)在x∈(0,2)时是减函数
∴g′(x)≤0对x∈(0,2)恒成立
由(x²-1+m)/(4x²)≤0得，x²≤1-m
∴1-m≥2²
故 m≤-3