Question

二元关系中幺元、零元、逆元分别指什么？

Answer 1

1.幺元（单位元）∶

设＊是集合Z中的二元运算：

(1)若有一元素el∈Z，对任一x∈Z有el*x=x;则称e1为Z中对于＊的左幺元（左单位元素）。

(2）若有一元素erEZ，对任一x∈Z有x*er=x;则称er为Z中对于＊的右幺元（右单位元素）。

定理：

若el和er分别是Z中对于＊的左幺元和右幺元，则对于每一个x∈Z，可有el=er=e和e*x=x*e=x,则称e为Z中关于运算＊的幺元，且e∈Z是唯一的。

2.零元定义：

设＊是对集合Z中的二元运算：

(1)若有一元素0ez，且对每一个xeZ有0*x=e，则称e为Z中对于＊的左零元。

(2）若有一元素0r ez，且对每一个xeZ有x*0r= 0r，则称0为Z中对于＊的右零元。（零元不存在逆元）。

定理：

若el和er分别是Z中对于＊的左零元和右零元，于是对所有的xeZ，可有el=Or=0，能使0*x=x*O=0。在此情况下，0∈Z是唯一的，并称0是Z中对＊的零元。

3.逆元定义：

设＊是Z中的二元运算，且Z中含幺元e，令x∈z：

(1）若存在一xl∈Z，能使xl*x=e，则称xl是x的左逆元，并且称x是左可逆的。

(2）若存在一xr∈Z，能使x*xr=e，则称xr是x的右逆元，并且称x是右可逆的。

(3）若元素x既是左可逆的，又是右可逆的，则称x是可逆的，且x的逆元用x1表示。

定理：

设Z是集合，并含有k元e。＊是定义在Z上的一个二元运算，并且是可结合的。若x∈Z是可逆的，则它的左逆元等于右逆元，且逆元是唯一的。