Question

如何判断一个矩阵是正定、负定还是半正定？

Answer 1

特征值全为正数的矩阵为正定矩阵。反之，特征值全为负数的矩阵为负定矩阵。

1. 任意给一个对称阵，做他的特征分解：，那么，。这里，由于是一个正交阵，则为的一个线性变换。考虑到定义中具有任意性，显然也具有任意性。令，即原定义等价于分析是否存在任意的，使得恒成立。
   
   2.也就是说，【重要结论一】分析对称阵的正定性，等价于分析其特征值对角阵的正定性。
   
   3.为了叙述方便，记。容易知道，特征值对角阵是正定阵必须要求所有特征值为正，半正定则要求所有特征值非负。关键在于正定性定义中具有任意性。
   
   4.假若存在某个特征值，显然可以构造（第i位是1），则，则违背了正定性定义。由反证法容易知道【结论二，也就是正定性和特征值关系】正定必须所有特征值为正，也就是特征值均为正。同理可以证出，半正定要求特征值必须非负。