Question

求幂级数∞∑n=1 [(-1)^(n-1)][x^n/n]的和函数，并同时指出它的收敛域

Answer 1

[(1/n)]/[1/(n+1)]趋向于1，故收敛半径为1，当x=1时，级数为交错级数，1/n递减且趋向于0，故收敛。当x=-1时，级数为调和级数的相反数，发散。综上，收敛域为(-1,1]。
设和函数为s(x)，则s'(x)=sum of [(-1)^(n-1)][x^(n-1)]，是首项为1，公比为-x的等比级数，故s'(x)=1/(1+x)，其原函数为ln(1+x)+c，即s(x)=ln(1+x)+c。又s(0)=0，所以c=0。综上，s(x)=ln(1+x)。

Answer 2

因为[(-1)^(n-1) x^n/n]'=(-x)^(n-1)
所以S'(x)=∑[(-1)^(n-1) x^n/n]'=∑(-x)^(n-1)=1/(1+x),-1x=-1时∑(-1)^(n-1) x^n/n=∑-1/n发散
x=1时∑(-1)^(n-1) x^n/n=∑(-1)^(n-1)/n为莱布尼茨交错级数,故收敛
S(x)=∫dx/(1+x)=ln(1+x)+C
又S(0)=0,C=0
故S(x)=ln(1+x)