Question

已知数列{an}满足a1=1/2,3(an+1-an)(an+1-an)=(1+an+1)(1-an+1),且(an+1)*an小于0,n属于正整数。

1.求{an}的通项公式；
2.若bn=an+1*2-an*2，试问数列{bn}中是否存在三项能按某种顺序构成等差数列？若存在，求满足条件的等差数列；若不存在，说明理由

Answer 1

1、由a1=1/2＞0，a(n+1)*an＜0知道an正负交错，当n为偶数时an＜0，n为奇数时an＞0。
由3(an+1-an)(an+1-an)=(1+an+1)(1-an+1)整理得4[a(n+1)^2 - 1]=4(an^2 -1)，所以数列{an^2 -1}是首项为-3/4，公比为3/4的等比数列，所以an^2=1-(3/4)^n，an＝(-1)^(n-1)×√[1-(3/4)^n]。
2、bn=a(n+1)^2 - an^2＝1/4×(3/4)^n，则bn＞b(n+1)恒成立。
假设数列{bn}中存在三项bm，bn，bp(m＜n＜p)构成等差数列，则bm＞bn＞bp，所以只能有2bn＝bm＋bp成立，即2×1/4×(3/4)^n＝1/4×(3/4)^m＋1/4×(3/4)^p，即2×(3/4)^n＝(3/4)^m＋(3/4)^p，
两边同乘以4^p，得：2×3^n×4^(p-n)＝3^m×4^(p-m)＋3^p。
m,n,p都是正整数，且m＜n＜p，所以p-m＞0，p-n＞0，等式左边的2×s^n×4^(p-m)是偶数，右边的3^n×4^(p-m)＋3^p是奇数，所以等式不可能成立。所以数列{bn}中任意三项不可能构成等差数列。

追问

3(an+1-an)(an+1-an)=(1+an+1)(1-an+1)整理得4[a(n+1)^2 - 1]=3(an^2 -1)怎么整理得

追答

左边是3(a(n+1))^2-3(an)^2，右边是1-(a(n+1))^2，这样得到4a(n+1)^2 - 3an^2 -1＝0，进一步写成4[a(n+1)^2 - 1]=3(an^2 -1)