Question

线性代数里单位矩阵有哪些性质？比如单位矩阵E的n次方，E矩阵乘以一个矩阵A结果是什么？

线性代数里单位矩阵有哪些性质？比如单位矩阵E的n次方，E矩阵乘以一个矩阵A结果是什么？
E^n=?
E*A=?
A*E=?

Answer 1

E^n=E
E*A=A*E=A
若f(A)、g(A)均为矩阵A的多项式，则E、f(A)、g(A)乘法可交换。
单位矩阵只与单位矩阵相似；
若A可逆，则A^-1*A=E;

Answer 2

方法很多，一种做法如下：

A的单位矩阵合同，则存在可逆矩阵C，使得A＝C'C，这里C'表示转置
设A的任一特征值是λ，相应的特征向量是x，则Ax＝λx，即C'Cx＝λx
两边同时左乘以x'，得(Cx)'(Cx)＝λ(x'x)
因为x≠0，C可逆，所以Cx≠0，所以(Cx)'(Cx)＞0，x'x＞0，所以λ＞0
由λ的任意性得A的所有特征值都大于0

Answer 3

E^n=E
E*A=A
A*E=A

Answer 4

E^n=E
E*A=A*E=A