Question

求由抛物线y^2=2x与该曲线在点(1/2,1)处的法线所围成图形的面积

求由抛物线y^2=2x与该曲线在点(1/2,1)处的法线所围成图形的面积求解析谢谢

Answer 1

在点（1/2,1)处的导数是y导数=1 所以法线斜率是k=-1

所以法线方程 x+y-1.5=0

联立y^2=2x和方程 x+y-1.5=0 得y1=1或者y2=-3

D 的面积积分 ∫[（1.5-y）-0.5y²] dy 积分上限是1 下限是-3

=1.5y-0.5y²-1/6y³

=16/3

扩展资料：

平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。

抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。 

它在几何光学和力学中有重要的用处。 抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。

抛物线四种方程的异同

共同点：

①原点在抛物线上，离心率e均为1 ②对称轴为坐标轴；

③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4

不同点：

①对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x^2；

②开口方向与x轴（或y轴）的正半轴相同时，焦点在x轴（y轴）的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x（或y轴）的负半轴相同时，焦点在x轴（或y轴）的负半轴上，方程的右端取负号。

参考资料：百度百科-抛物线

Answer 2

y² = 2x, 2yy' = 2, y' = 1/y

在点P(1/2, 1)的切线斜率为k = 1, 法线斜率为k' = -1, 法线为: y - 1 = -(x - 1/2)

x = 3/2 - y

这里用y为自变量较为容易

法线与抛物线的另一个交点为Q(9/2, -3)

Answer 3

对抛物线求导：2yy' = 2, y' = 1/y
过已知点的切线斜率为k = 1/1 = 1, 法线斜率为k' = -1/k = -1
法线为y - 1 = -(x - 1/2)， x = -y +3/2
与抛物线联立得交点为A(1/2, 1), B(9/2, -3) （前者已知）
因为x>0时，y可以取两个值，所以用y为自变量积分比较方便，上方是法线x = -y + 3/2， 下方是抛物线x = y²/2， 被积函数为3/2 - y - y²/2, 积分区间为[-3, 1]。
结果为16/3

Answer 4

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