Question

高中数学导函数题目:

Answer 1

定义域，x>0

f'(x)=1+a/x²-2/x
=(1/x²）（x²-2x+a）
=（x²-2x+1+a-1）/x²
=[(x-1)²+a-1]/x²
（1）
《1》a-1≥0，a≥1，f'(x)≥0，增函数；
《2》a<1
f'(x)=[(x-1)²-(1-a)]/x²
=[x-1+√（1-a）][x-1-√（1-a）]/x²
0<x<1-√（1-a）,或者x>1+√（1-a）,f'(x)>0,增函数；
1-√（1-a）<x<1+√（1-a）,f'(x)<0,减函数。
如果1-√（1-a）≤0,1≤1-a,a≤0,则x<1-√（1-a）不能达到，此时x>1+√（1-a）,f'(x)>0,增函数；0<x<1+√（1-a）,f'(x)<0,减函数。

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Answer 2

（1）f(x)=x-a/x-lnx
f'(x)=1+a/x²-1/x=(x²-x+a)/x²
根据f(x)的定义域：x>0
令F(x)=x²-x+a
Δ=1-4a
当 a>1/4，得Δ<0
F(x)>0 ， f'(x)>0，f(x)单调增
当 0<a≤1/4，Δ≥0
令F(x)=0，得
x₁=1-√(1-4a) ， x₂=1+√(1-4a)
当 0<x≤1-√(1-4a)或x≥1+√(1-4a)，F(x)≥0 ， f'(x)>0， f(x)单调增
当 1-√(1-4a)<x<1+√(1-4a)，F(x)<0 ，f'(x)<0 ， f(x)单调减

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