Question

线代高手麻烦帮我解答下！同济线性代数的一道习题。求解。谢谢

Answer 1

怎么了，没问题啊？
第一列提出b--a，第二列提出c--a，第三列提出d--a，
提完后，第一列剩下1 b+a，b^2(b+a)，
其余两列类似。

追问

不好意思。截图搞错步骤了。请问下这一步是为什么啊?见图

追答

行列式的定义，可以按任意一行或者一列做展开：
比如按第一行，行列式
＝a11*A11+a12*A12+a13*A13+a14*A14，其中
Aij是aij对应的代数余子式，就是划掉aij所在的行和列后
剩下的n－1阶行列式，然后再乘以(-1)^(i+j)。
本题中a12=a13=a14＝0，
(-1)^(1+1)=1，因此
a11的代数余子式就是划掉a11后剩下的右下角的
3阶方阵的行列式。
书上都有这个结论吧。

追问

额。展开我知道。我想说的是第四行的问题。不过我现在知道怎么回事了。还是谢谢了啊

追答

按行展开后第三行本来是b^2(b^2－a^2)+a^2(b^2－a^2) c^2(c^2－a^2)+a^2(c^2－a^2) d^2(d^2－a^2)+a^2(d^2－a^2)，然后分解为两个行列式的和。
注意到第二个行列式：第三行和第二行是成比例的，行列式为0

追问

呵呵。其实没那么麻烦。第三行化简为是b^2(b^2－a^2)+a^2(b^2－a^2) c^2(c^2－a^2)+a^2(c^2－a^2) d^2(d^2－a^2)+a^2(d^2－a^2)后减去第二行的a平方倍。就是第三行了

追答

道理是一样的啊。