Question

设函数f(x)=x^3+ax^2+bx(x>0)的图象与直线y=4相切于M(1,4)

求y=f(x)在区间（0,4]上的最大值与最小值

Answer 1

f'(x)=3x^2+2ax+b
f(1)=1+a+b=4
f'(1)=3+2a+b=0
解得：a=-6、b=9。
f(x)=x^3-6x^2+9x
f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)。
f(1)=4、f(3)=0、f(4)=4。
所以，函数f(x)在区间(0,4]上的最大值是f(4)=4、最小值是f(3)=0。

Answer 2

点M(1,4)在f(x)=x^3+ax^2+bx上
所以f(1)=1+a+b=4 ①
f'(x)=3x^2+2ax+b
所以f'(1)=3+2a+b=0 ②
联立①②得，a=-6，b=9
所以f(x)=x^3-6x^2+9x
f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)
当0<x<1时，f'(x)>0；当1<x<3时，f'(x)<0；当3<x≤4时，f'(x)>0
所以f(x)在(0,1)∪(3,4]上单调递增，在(1,3)上单调递减
而f(0)=0，f(1)=4，f(3)=0，f(4)=4
所以f(x)max=f(1)=f(4)=4
f(x)min=f(3)=0