Question

计算三重积分∫∫∫(|x|+|y|+|z|)dv,其中Ω:x^2+y^2+z^2≤a^2,哪位大师来解下,要过程！

Answer 1

由轮换对称性，∫∫∫ |x| dxdydz=∫∫∫ |y| dxdydz=∫∫∫ |z| dxdydz
则：原式=3∫∫∫ |z| dxdydz
记Ω1：x^2+y^2+z^2≤a^2，且z≥0，即上半球
则：原式=6∫∫∫ z dxdydz
截面法：做截面Dz为 x²+y²≤a²-z²
=6∫[0→a] z dz∫∫ 1 dxdy 二重积分的积分区域为Dz，Dz面积为：π(a²-z²)
=6π∫[0→a] z(a²-z²) dz
=3π∫[0→a] (2a²z-2z³) dz
=3π(a²z²-(1/2)z^4) |[0→a]
=(3π/2)a^4

Answer 2

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