Question

数列的前N项和，求解

Answer 1

根据通项公式有：
a1=8/9，a2=16/(9×25)，a3=24/(25×49)，a4=32/(49×81)
所以：
S1=8/9
S2=216/(9×25)=24/25
S3=1200/(25×49)=48/49
S4=3920/(49×81)=80/81
猜测前n项和为：1-[1/(2n+1)²]。证明：
①对于n=1，S1=1-[1/(2×1+1)²]=8/9成立；
②若Sn=1-[1/(2n+1)²]成立，那么对于Sn+1有：
Sn+1=Sn+an+1
=1-[1/(2n+1)²]+｛8(n+1)/[(2n+1)²(2n+3)²]｝
=1-[(2n+3)²-8(n+1)]/[(2n+1)²(2n+3)²]
=1-(4n²+12n+9-8n-8)/[(2n+1)²(2n+3)²]
=1-(2n+1)²/[(2n+1)²(2n+3)²]
=1-[1/(2n+3)²]=1-｛1/[2(n+1)+1]²｝
仍然符合猜测公式；
③根据数学归纳法，结论得证。

Answer 2

an=8n/（2n-1）²（2n+1）²=1/（2n-1）²-1/（2n+1）²
Sn=1-1/（2n+1）²

Answer 3

Answer 4

求数列的前n项和