Question

正方体ABCD-A1B1C1D1中MN分别是CD和CC1的中点，求异面直线A1M与DN所成的角大小

Answer 1

过M作ME∥DN交CC1于E。利用赋值法，令AB＝4。
∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴A1D＝A1C1＝4√2、A1D⊥DM、A1C1⊥C1N、CD⊥CN。
∵M、N分别是CD、CC1的中点，∴DM＝C1N＝2。

∵ME∥DN、DM＝CM，∴CE＝EN＝1，∴C1E＝4－1＝3。
∴由勾股定理，有：
ME^2＝CM^2＋CE^2＝4＋1＝5， A1M^2＝A1D^2＋DM^2＝16×2＋4＝36，
A1E^2＝A1C1^2＋C1E^2＝16×2＋9＝41。
∴ME^2＋A1M^2＝A1E^2，∴由勾股定理的逆定理，有：A1M⊥ME，∴A1M⊥DN。
∴异面直线A1M与DN所成的角为 90°。