Question

已知等差数列{An}，前n项和为Sn。 A3=6，S3=12。 求数列{2^(n-1)An}的前n项和Bn。

已知等差数列{An}，前n项和为Sn。
A3=6，S3=12。
求数列{2^(n-1)An}的前n项和Bn。

Answer 1

S3=a1+a2+a3=3a2=12
a2=4
d=a3-a2=6-4=2
a1=a2-d=4-2=2
an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n
令bn=2^(n-1)an，则bn=2n×2^(n-1)=n×2ⁿ
Bn=b1+b2+...+bn=1×2+2×2²+3×2³+...+n×2ⁿ
2Bn=1×2²+2×2³+...+(n-1)×2ⁿ +n×2^(n+1)
Bn-2Bn=-Bn=2+2²+...+2ⁿ-n×2^(n+1)
Bn=n×2^(n+1)-(2+2²+...+2ⁿ)
=n×2^(n+1)-2×(2ⁿ-1)/(2-1)
=n×2^(n+1)-2^(n+1) +2
=(n-1)×2^(n+1) +2