Question

设A,B是椭圆x^2/4+y^2=1上的两点，o为坐标原点

1若直线A.B的斜率为—1，且经过椭圆的左焦点，求丨AB丨2.若直线AB在y轴上的截距为4，且OA.OB的斜率之和等于2，求直线AB的斜率k

Answer 1

(1),x^2/4+y^2=1
a=2 b=1 c=1
AB: y=-x+b
左焦点： (-1,0)
0=-(-1)+b b=-1
y=-x-1 tana=-1 sina=根号2/2 cosa=-根号2/2
设直线参数方程：y=0+根号2/2 *t =根号2/2 *t
x=-1-根号2/2*t
其中|t|表示（到点(-1,0) 的距离。代入x^2/4+y^2=1
(1+t^2/2+t根号2)/4+t^2/2=1
2+t^2+2t根号2+4t^2=8
5t^2+2t根号2-6=0
|AB|=|t1-t2|
t1-t2)^2=(t1+t2)^2-4t1t2=[-(2根号2)/5]^2-4*(-6/5)=8/25+24/5=(8+120)/25=128/25
AB=|t1-t2|=根号(128/25)=（8根号2)/5

(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AB：y=kx+4
则y1=kx1+4，y2=kx2+4
∵OA,OB斜率之和等于2
∴y1/x1 + y2/x2=2
即[(kx1+4)/x1] +[(kx2+4)/x2] =2
即k + (4/x1) + k + (4/x2)=2
2k+(4/x1 + 4/x2)=2
2k + [4(x1+x2)/x1x2]=2
k+[2(x1+x2)/x1x2]=1
联立椭圆直线得
x²/4 + y²=1
y=kx+4
(1+4k²)x²+32kx+60=0
x1+x2= -32k/(1+4k²) ，x1x2=60/(1+4k²)，(x1+x2)/x1x2= -8k/15
k+[2(x1+x2)/x1x2]=1
k-16k/15=1
k=-15t